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2024-03-04 307
导读:高中数学复数运算公式
复数
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考试内容:复数的概念;复数的加法和减法;复数的乘法和除法;数系的扩充。
复数知识要点:复数是高中代数的重要内容,在高考试题中约占8%-10%,一般的出一道基础题和一道中档题,经常与三角、解析几何、方程、不等式等知识综合.本章主要内容是复数的概念,复数的代数、几何、三角表示方法以及复数的运算.方程、方程组,数形结合,分域讨论,等价转化的数学思想与方法在本章中有突出的体现.而复数是代数,三角,解析几何知识,相互转化的枢纽,这对拓宽学生思路,提高学生解综合习题能力是有益的.数、式的运算和解方程,方程组,不等式是学好本章必须具有的基本技能.简化运算的意识也应进一步加强.
1.知识网络图
2.复数中的难点
(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好,对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义,对其灵活地加以证明.
(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道,但对其灵活地运用有一定的困难,特别是开方运算,应对此认真地加以训练.
(3)复数的辐角主值的求法.
(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示,同时复数的模和辐角都具有几何意义,对他们的理解和应用有一定难度,应认真加以体会.
3.复数中的重点
(1)理解好复数的概念,弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.
(2)熟练掌握复数三种表示法,以及它们间的互化,并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数,向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化,以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到,是一个重点内容.
(3)复数的三种表示法的各种运算,在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容,掌握复数各种形式的运算,特别是复数运算的几何意义更是重点内容.
(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.
4. ⑴复数的单位为i,它的平方等于-1,即.
⑵复数及其相关概念:
① 复数—形如a + bi的数(其中);
② 实数—当b = 0时的复数a + bi,即a;
③ 虚数—当时的复数a + bi;
④ 纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi,即bi.
⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部,b叫做虚部(注意a,b都是实数)
⑥ 复数集C—全体复数的集合,一般用字母C表示.
⑶两个复数相等的定义:
.
⑷两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小.
注:①若为复数,则若,则.(×)[为复数,而不是实数]
若,则.(√)
②若,则是的必要不充分条件.(当,
时,上式成立)
5. ⑴复平面内的两点间距离公式:.
其中是复平面内的两点所对应的复数,间的距离.
由上可得:复平面内以为圆心,为半径的圆的复数方程:.
⑵曲线方程的复数形式:
①为圆心,r为半径的圆的方程.
②表示线段的垂直平分线的方程.
③为焦点,长半轴长为a的椭圆的方程(若,此方程表示线段).
④表示以为焦点,实半轴长为a的双曲线方程(若,此方程表示两条射线).
⑶绝对值不等式:
设是不等于零的复数,则
①.
左边取等号的条件是,右边取等号的条件是.
②.
左边取等号的条件是,右边取等号的条件是.
注:.
6. 共轭复数的性质:
,(a + bi)
()
注:两个共轭复数之差是纯虚数. (×)[之差可能为零,此时两个复数是相等的]
7 ⑴①复数的乘方:
②对任何,及有
③
注:①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式,否则会得到荒谬的结果,如若由就会得到的错误结论.
②在实数集成立的. 当为虚数时,,所以复数集内解方程不能采用两边平方法.
⑵常用的结论:
若是1的立方虚数根,即,则 .
8. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件:
①.
②若,是纯虚数.
⑵模相等且方向相同的向量,不管它的起点在哪里,都认为是相等的,而相等的向量表示同一复数. 特例:零向量的方向是任意的,其模为零.
注:.
9. ⑴复数的三角形式:.
辐角主值:适合于0≤<的值,记作.
注:①为零时,可取内任意值.
②辐角是多值的,都相差2的整数倍.
③设则.
⑵复数的代数形式与三角形式的互化:
,,.
⑶几类三角式的标准形式:
10. 复数集中解一元二次方程:
在复数集内解关于的一元二次方程时,应注意下述问题:
①当时,若>0,则有二不等实数根;若=0,则有二相等实数根;若<0,则有二相等复数根(为共轭复数).
②当不全为实数时,不能用方程根的情况.
③不论为何复数,都可用求根公式求根,并且韦达定理也成立.
11. 复数的三角形式运算:
棣莫弗定理:
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