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导读:函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性,但考试中还会考查函数对称性、连续性、凹凸性。对称性考查的频率一直比较高,如二次函数的对称轴,反比例函数的对称性,三角函数的对称性,尤其是抽象函数的对称性判断。
函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性,但考试中还会考查函数对称性、连续性、凹凸性。对称性考查的频率一直比较高,如二次函数的对称轴,反比例函数的对称性,三角函数的对称性,尤其是抽象函数的对称性判断。
①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。
1、平移变换
函数y=f(x)的图像向右平移a个单位得到函数y=f(x-a)的图像;向上平移b个单位得到函数y=f(x)+b的图像;左平移a个单位得到函数y=f(x+a)的图像;向下平移b个单位得到函数y=f(x)-b的图像(a,b>0)。
2、伸缩变换
函数y=f(x)的图像上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍(0<k<1时,缩;k>1时,伸)得到函数y=kf(x)的图像;
函数y=f(x)的图像上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍(0<k<1时,伸;k>1时,缩)得到函数y=f(kx)的图像(k>0,且k≠1)。
3、对称变换
(1)函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图像为y=f(-x);
关于x轴对称的图像为y=-f(x);关于原点对称的图像为y=-f(-x)。
(2)函数y=f(x)的图象关于x=a对称的图像为y=f(2a-x);关于y=b对称的图像为y=2b-f(x);关于点(a,b)中心对称的图像为y=2b-f(2a-x)。
(3)绝对值问题
①函数y=f(x)x轴及其上方的图像保持不变,把下方图像关于x轴对称的翻折到上方,再把下方的图像去掉得到函数y=|f(x)|的图像;
②函数y=f(x)y轴及其右侧的图像保持不变,把左侧图像去掉,再把右侧图像关于y轴对称的翻折到左侧得到函数y=f(|x|)的图像;
③函数y=f(x)先用第②步的方法得到函数y=f(|x|)的图像,再平移a个单位得到函数y=f(|x-a|)图象。
1、求值
“配对”,对称性主要是考查一对函数值之间的关系。
2、“对称性+对称性”可以推导出周期性
两个对称性拼起来就可以将里面的符号化为同号,从而得出周期性。
3、“奇偶性+对称性”可以推导出周期性
这在前面已经提到,还是因为奇偶性有制造负号的能力。
4、三角函数的奇偶性
几乎所有的三角函数的奇偶性都是当对称性来使用,先求出所有的对称轴,然后y轴是其中的一条(或者先求出所有的对称中心,然后原点是其中的一个)。
5、关于y=x对称的应用
(因为f(x)=e^x与g(x)=lnx互为反函数,关于y=x对称,而f(x)=e^(x+1)是由f(x)=e^x向左移一个单位得到,g(x)=ln(x+1)也是由g(x)=lnx向左移一个单位得到,因而对称轴也跟着左移一个单位,即y=x+1)
6、对称性的本义
对称性的本义就是关于对称中心(或对称轴)对称的两个自变量的函数值的紧密关系。
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